a+ar+ar2+ar3+...... গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।
সুতরাং, ধারাটির n তম পদ =arn-1, যেখানে n∈N|
এবার, r≠1হলে ধারাটির n তম আংশিক সমষ্টি
Sn=a+ar+ar2+ar3+.........+arn-1
Sn=a.rn-1r-1 যখন r>1 এবং Sn=a.1-rn1-r, যখন r<1
লক্ষ করি:
ক) |r|<1 হলে, অর্থাৎ,-1<r<1 হলে,n এর মান বৃদ্ধি করলে (n→∞ হলে) |rn| এর মান হ্রাস পায় এবং n এর মান যথেষ্ট বড় করলে |rn|এর মান 0 এর কাছাকাছি হয়। অর্থাৎ |rn| এর প্রান্তীয় মান (Limiting Value) 0 হয়।
ফলে Sr এর প্রান্তীয় মান Sn=a(1-rn)1-r=a1-r-arn1-r=a.a1-r
এক্ষেত্রে, অসীম ধারাটির সমষ্টি S∞=a1-r
খ) |r|>1হলে, অর্থাৎ r>1 অথবা r<-1 হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে |rn| এর মান বৃদ্ধি পায় এবং n কে যথেষ্ট বড় করে |rn|এর মান যথেষ্ট বড় করা যায়। সুতরাং এমন কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা S পাওয়া যায় না, যাকে Sn এর প্রান্তীয় মান ধরা যায়।
অর্থাৎ, এক্ষেত্রে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।
গ) r=-1 হলে, Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা, n জোড় সংখ্যা হলে (-1)n=1 এবং n বিজোড় সংখ্যা হলে (-1)n=-1। এক্ষেত্রে ধারাটি হবে, a-a+a-a+a-a+......।
সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।
ঘ) r=1 হলেও Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা তখন ধারাটি হবে a+a+a+a+a+.....(n সংখ্যক)। অর্থাৎ Sn=na যা n এর মান বাড়িয়ে যথেষ্ট বড় করা যায়।
সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।
|r|<1 অর্থাৎ, -1<r<1 হলে,a+ar+ar2+ar3+..... অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি S=a1-r| r এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না।
মন্তব্য: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিকে (যদি থাকে) S∞ লিখে প্রকাশ করা হয় এবং একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বলা হয়। অর্থাৎ,a+ar+ar2+ar3+..... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,S∞=a1-r যখন |r|<1।
উদাহরণ ২. নিচের অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় কর।
ক) 13+132+133+134+......
খ)1+0.1+0.01+0.001+.....
গ) 1+1√2+12+12√2+14+......
সমাধান:
ক) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ,a=13 এবং সাধারণ অনুপাতr=132×31=13<1
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1-r=131-13=13×32=12
খ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=0.11=110<1
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1-r=11-110=109=119
গ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=1√21=1√2<1
∴ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1-r=√2√2-1=3.414 (আসন্ন )
Read more